Allgemeine Topologie I by René Bartsch

By René Bartsch

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Da M echte Teilmenge ist, existiert x0 ∈ X \ M . Wir setzen nun X1 := M = f −1 (X) und erhalten x1 := f −1 (x0 ) ∈ M \ f −1 (M ), da x0 wegen der 40 1 Mengentheoretische Grundlagen Surjektivit¨ at von f einerseits ein Urbild in M haben muß, dieses aber wegen x0 ∈ M nicht in f −1 (M ) liegen kann. So definieren wir induktiv weiter: Xn+1 := f −1 (Xn ) und xn+1 := f −1 (xn ) wobei sich analog wie oben stets xn ∈ Xn \ Xn+1 ergibt: f¨ ur n = 0 haben wir das oben gezeigt und gilt erstmal xn ∈ Xn \ Xn+1 , so haben wir nat¨ urlich xn+1 = f −1 (xn ) ∈ f −1 (Xn ) = Xn+1 und andrerseits xn+1 ∈ Xn+2 = f −1 (Xn+1 ), da sonst f (xn+1 = xn ∈ Xn+1 folgte.

Die Menge aller Filter auf X bezeichnen wir mit F(X). Ein wichtiges Beispiel f¨ ur Filter haben wir ja gerade schon gesehen – es ist nicht schwer zu u ufen, daß das aus der Folge konstruierte Mengensystem ϕ die Eigenschaften ¨ berpr¨ (1), (2), (3) aufweist. Solche aus Folgen gebildeten Filter nennen wir auch Elementarfilter.

Ist K ⊆ A eine bez¨ uglich Inklusion total geordnete Teilmenge von A, so geh¨ ort offenbar auch H := K∈K K zu A, denn aus (x, y), (u, v) ∈ H folgt wegen der totalen Ordnung durch Inklusion in K sogleich ∃K ∈ K : (x, y), (u, v) ∈ K. Zudem ist H offenbar eine obere Schranke von K in A bez¨ uglich Inklusion. Da eine solche also f¨ ur jede total geordnete Teilmenge von A existiert, sichert das Zorn’sche Lemma die Existenz maximaler Elemente in A. Sei also F0 ∈ A maximal. Wir setzen p1 : A × B → A : p1 (a, b) := a und p2 : A × B → B : p2 (a, b) := b.

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