Analysis by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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Intervallschachtelungen Die reellen Zahlen nennen wir auch Punkte auf der Zahlengeraden oder einfach Punkte in R. Wir definieren den Absolutbetrag (oder einfach: Betrag) |a| einer reellen Zahl a als ⎧ ur a > 0 ⎨ a f¨ 0 f¨ ur a = 0 |a| := ⎩ −a f¨ ur a < 0 . Dieses Symbol wurde 1859 von Karl Weierstraß eingef¨ uhrt. Offenbar gilt |a|2 = a2 und |a| = |− a| . Satz 1. Der Absolutbetrag hat folgende Eigenschaften: (1) (2) (3) |a| ≥ 0 ; |λa| = |λ||a| |a + b| ≤ |a| + |b| |a| = 0 ⇔ a = 0 ; f¨ ur alle λ, a ∈ R ; f¨ ur alle a, b ∈ R .

Dann ist auch n a > 1 und somit hn := n a − 1 > 0. Nach Bernoulli folgt 1 + nhn ≤ (1 + hn )n = a und somit √ √ 1 | n a − 1| = n a − 1 = hn ≤ (a − 1) · → 0. n 46 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis F¨ ur 0 < a < 1 erf¨ ullt b := a−1 die Ungleichung b > 1; somit gilt b1/n − 1 → 0. Insbesondere gibt es also f¨ ur = 1/2 ein N ∈ N, so daß f¨ ur n > N die Ungleichung −1/2 ≤ b1/n − 1 ≤ 1/2 und somit 1/2 ≤ b1/n , also b−1/n ≤ 2 gilt. Hieraus erhalten wir f¨ ur n > N : √ n √ √ b−1 1 √ |1 − n a| = 1 − n a = 1 − √ = ≤ 2(b1/n − 1) → 0 .

2 Dann folgt 1 + . . + k + (k + 1) = 1 1 k(k + 1) + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) . 2 2 Somit ist Bn f¨ ur n = k + 1 richtig. ur jedes n ∈ N richtig ist. Das Induktionsprinzip liefert nun, daß Bn f¨ Nun wollen wir das Induktionsprinzip wiederholt anwenden, um einige Eigenschaften der nat¨ urlichen Zahlen zu beweisen, die zwar wohlvertraut sind, bei unserem Vorgehen aber verifiziert werden m¨ ussen. Satz 3. Es gilt: (i) (ii) (iii) (iv) (v) n ≥ 1 f¨ ur jedes n ∈ N. n + m ∈ N f¨ ur alle n, m ∈ N. nm ∈ N f¨ ur alle n, m ∈ N.

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